Poincare Conjecture

2006 年8月22日在西班牙馬德里舉行的國際數學家大會 ( International Congress of Mathematicians，簡稱 ICM) 公布了四位菲爾茲獎 (Fields Medal ^[1]) 的 得主。 其中一位是華裔的數學家 陶哲軒(Terence Tao)， 父母是香港到澳大利亞的移民，所以陶哲軒是澳大利亞籍。 事實上，陶哲軒是第二位拿到菲爾茲獎的華人，第一位是 丘成桐 ^[2]。

另一位 菲爾茲獎的得主是俄羅斯人 Grigori Perelman， 這位數學天才極有可能讓龐加萊猜想變成定理。 聽過費馬最後定理( Fermat's Last Theorem ^[3]) 嗎？費馬最後定理困擾了數學家 350 年之久，直到 1994 年才由 Andrew Wiles 提出證明。 繼費馬最後定理之後，另一個數學難題是龐加萊猜想( Poincare conjecture ^[4])， 這個問題由法國數學家 Poincare 在 1904 年提出，百年來無人能解，這個問題甚至被 Clay Mathematics Institute 列為 7 大千禧年問題，每道問題懸賞一百萬美元。 我在 2004 年時就有聽到 Perelman 試圖要證明龐加萊猜想的 消息， 而到 2006 夏天為止， 數學家們還在檢查 Perelman 的證明是否完全正確， 不過經過三年多來數學專家們的嚴密審視，Perelman 的證明還沒有發現漏洞 (資料來自 ICM)。

龐加萊猜想的敘述是

Every simply connected closed 3-manifold is homeomorphic to the 3-sphere.

(我找到一個通俗的 說明)。 如果把龐加萊猜想中的 3 換成任何大於 3 的整數，則此猜想還是對的， Stephen Smale 證明了 n >= 5 時，猜想是對的，而在 1966 年得到了菲爾茲獎。 Michael Freedman 證明了 n = 4 時，猜想是對的，而在 1986 年得到了菲爾茲獎。 n = 3 的時候猜想變得特別棘手，所以一直沒有人可以證明龐加萊猜想。 另外值得一提的是， William Thurston 曾提出 Geometrization conjecture， 而龐加萊猜想是 Thurston 猜想的特例，Thurston 因為對拓樸學的貢獻而在 1982 年獲得菲爾茲獎。 事實上 Perelman 同時證明了 Thurston's geometrization conjecture 和龐加萊猜想， 既然 Perelman 在完成龐加萊猜想證明中扮演重要的一角，菲爾茲獎會頒給他，也是預料中的事， 可是，Perelman 居然拒絕了，成為歷史上第一個拒絕菲爾茲獎的人， 他的理由是菲爾茲獎與他無關，如果他的證明是對的，又何需其他人的認同呢？ 原文如下：(資料來自^[5])

It was completely irrelevent for me. Everybody understood that if the proof is correct then no other recognition is needed.

附註：

1. 菲爾茲獎常被稱為數學界的諾貝爾獎，每四年舉辦一次， 每次頒給 2 到 4 位 40 歲以下有卓越貢獻的數學家。
2. 丘成桐也是香港人，想多了解他的人可以看一下他的自傳： 我的數學之路。
3. 想了解費馬最後定理的歷史可以看看 Simon Singh 寫的書： Fermat's Enigma (有中譯本)
4. Poincare 的念法其實比較像 彭卡瑞。
5. Sylvia Nasar and David Gruber, "Manifold destiny", The New Yorker, August 28, 2006, pp. 44-57.