John Milnor at ICM 2014

International Congress of Mathematicians (ICM) 每四年舉辦一次，是數學界最大也是最知名的會議，數學家 Timothy Gowers 在其部落格詳細地記錄聽過的演講，其中一段很有趣也很動人，拓撲學家 John Milnor 在 Abel Lecture 發表演說，談論四個世紀以來拓撲學的發展，預計從2維曲面，3維流形，最後再接到4維流形，可是講到4維流形時，居然只剩2分鐘，於是他問主持人該麼辦，主持人回說你想講多久就講多久。主持人的回應是很出人意料的，聽眾通常希望演講準時結束(上課也是一樣)，如果時間受到拖延，台下觀眾的目光往往會讓給主持人及講者感到壓力。但這場演講不同，大家都想都知道4維流形的發展，於是當主持人決定延長時間時，聽眾回以熱烈的掌聲。Gowers說他從未有類似的經驗。(我也是，好想躬逢其盛啊！)

Non-convex function: Rastrigin

Convex optimization (凸最佳化)是最佳化理論中一個重要的分支， convex optimization 有一個很好的特性， 亦即如果 local minimum 存在的話則它必定是 global minimum。 一般的最佳化問題不一定可以被寫成凸最佳的問題， 所以會遇到存在很多 local minimum 的問題。 以下的 Rastrigin function 是一個例子

How Research is Carried Out? by Michael Atiyah

好一陣子沒發文了，因為在當兵，幾乎沒時間發文， 之前在若水堂買了大連理工大學出版的 「 數學家思想文庫 04：數學的統一性」，這本書選編並翻譯了 Michael Atiyah 的文章，通過本書可以了解他的數學和哲學思想。 書中「如何進行研究」這一篇， 特別另人驚豔，文中 Atiyah 談到一些數學研究者可能遇到的問題， 並提供自己的看法，非常值得一讀， 可惜網路上找不到原文， 不過 Google 圖書到是有幾頁可以預覽「 Michael Atiyah: Collected Works 」， 本文中的原文就是從 Google 圖書節錄下來的。 原文是發表在

M. Atiyah, How research is carried out. Bulletin of the Institute of Mathematics and its Applications, 1974, 10, p.232–234.

我的筆記如下：

• 解決問題與建立理論之間的關係
• 直覺式的證明還是嚴格的數學論證?
  
• 深度與廣度
• 單打獨鬥還是合作研究?
• 有效與優雅

黎曼猜想 - Riemann Hypothesis

繼 費馬最後定理 ^[1] (Fermat's Last Theorem) 及 龐加萊猜想^[2] (Poincare Conjecture) 相繼被攻克之後， 黎曼猜想 (Riemann Hypothesis) 是一個數學家久攻不下的數學難題，底下簡介此猜想的內容及重要性。 Bernhard Riemann 在 32 歲 (1859 年) 時被柏林科學院 (Berlin Academy) 選為通信院士， 為了回報此一崇高榮譽，於是 Riemann 向柏林科學院提交一篇論文^[3]， 只有 6 頁，題目是「論小於給定數值的質數個數」 (On the number of primes less than a given quantity)

Proofs from THE BOOK

Paul Erdos 認為上帝把每一個數學定理最精妙的證明都寫在天書 The Book 中， 同時他還說你不必相信上帝，但身為一個數學家，你應該相信天書， 當然天書並不存在於世界上， 於是數學家 Martin Aigner 和 Günter M. Ziegler 就想要寫一本近似於天書的書， 在 Erdos 熱心地幫助之下， 他們將一些具有高超思想、聰明的觀察和出色的洞察力的證明 加以整理，收錄於 Proofs from THE BOOK 一書中， 此書於 1998 年 3 月出版，可惜 Erdos 在 1996年就去世了， 沒能看到此書問世。 網路上有此書的目錄還有第一章的內容「 質數有無限多的六個證明 」可以試讀。

二十世紀的數學

在網路無意間找到 Michael Atiyah 的一個演講「二十世紀的數學」， 看完之後，對於二十世紀數學的發展有了基本了解，實在相當精彩。 花了一些時間排版，內容來自 簡體中文 的翻譯。可以在 這裡(pdf 檔) 或 這裡(ps 檔) 下載原文。底下是目錄：

• 從局部到整體
• 維數的增加
• 從交換到非交換
• 從線性到非線性
• 幾何與代數
• 通用的技術
• Homology
• K-theory
• Lie-groups
• Finite groups
• 物理的影響
• 歷史的總結

給年輕數學家的建議 - Alain Connes

接續 上次 的文章，上一篇只摘錄了第一位數學家 Michael Atiyah 的話， 這次則是摘錄了第三位數學家 Alain Connes 的話，Alain Connes 是法國數學家，研究領域是 operator algebra， 1982 年拿過 Fields Medal， 曾將其工作應用到理論物理， 他在文章的開頭還將數學家跟物理學家比喻成物理中兩種的基本粒子。 這次摘錄的話比較難翻釋，因為句子較長， 而且有些地方比較抽象，我沒有把握可以完全翻釋出作者的意思， 閱讀時請小心。

給年輕數學家的建議 - Michael Atiyah

Terence Tao 跟 Peter Woit 不約而同地介紹了 The Princeton Companion to Mathematics， 這本書是一本數學參考書，主要是寫給對數學有興趣的人， 包含了兩百多個項目，分別由世界上項尖的數學家所撰寫， 介紹了基本的數學工具及字彙；追溯當代數學的發展； 解釋基本名詞及概念；檢視數學主要分支的核心概念； 描述有名數學家的成就；檢視數學對其它領域的影響如生物、經濟、音樂等。

令人高興的是 書中的某些文章 可直接下載觀看， 最令我感興趣的是 Advice to a Young Mathematican 這一段，當中5位數學家描述了他們做研究的方式，其中的心路歷程， 還有從幫助學生變成研究者所得到的心得。 第一位英國數學家 Michael Atiyah，他拿過 1966 年的 Fields Medal， 還有 2004 年的 Abel Prize。 底下摘錄幾句讓我引起共鳴的話，並附上翻釋， 有錯請不吝指正。

George Dantzig

在 Terence Tao 的部落格看到 這篇， 就有了介紹 George Dantzig 這位美國數學家的念頭。 學過 linear programming 大概都知道 George Dantzig 吧，他最為人所知的貢獻就是發展 simplex method 來解 linear programming 的問題。 (linear programming 中文是線性規劃，簡寫是LP，陳唐山還是外交部長的時候， 這兩個字母上過新聞 XD) 題外話，目前解線性規劃最有效率的方法已經不是 simplex method 而是 inter point method。

胡桃裡的宇宙

胡桃裡的宇宙 這本書第三章的開場白引用了莎士比亞所寫的 哈姆雷特 中的一段話：

即使關在胡桃殼裡，我也會把自己當作擁有無限空間的君王。

原文是：

I could be bounded in a nutshell and count myself king of infinite space.

引用得很貼切，我猜這段話也是本書書名 (The Universe in a Nutshell) 的由來。 前陣子在看 Stephen Hawking 寫的 胡桃裡的宇宙 與 時間簡史， 這兩本書又重燃我對物理的興趣，我會再找時間寫寫這部分的心得。

Man is like a fraction

在 Math Quotations Server 讀到一句話我喜歡的話：

A man is like a fraction whose numerator is what he is and whose denominator is what he thinks of himself. The larger the denominator the smaller the fraction.

語出 Tolstoy, Lev Nikolgevich。 我的翻譯是：

人就像一個分數，分子代表他是什麼，而分母代表他認為他是什麼。 分母愈大則分數就愈小。

寓意是人不要把自己想得太偉大。

Poincare Conjecture

2006 年8月22日在西班牙馬德里舉行的國際數學家大會 ( International Congress of Mathematicians，簡稱 ICM) 公布了四位菲爾茲獎 (Fields Medal ^[1]) 的 得主。 其中一位是華裔的數學家 陶哲軒(Terence Tao)， 父母是香港到澳大利亞的移民，所以陶哲軒是澳大利亞籍。 事實上，陶哲軒是第二位拿到菲爾茲獎的華人，第一位是 丘成桐 ^[2]。

另一位 菲爾茲獎的得主是俄羅斯人 Grigori Perelman， 這位數學天才極有可能讓龐加萊猜想變成定理。 聽過費馬最後定理( Fermat's Last Theorem ^[3]) 嗎？費馬最後定理困擾了數學家 350 年之久，直到 1994 年才由 Andrew Wiles 提出證明。 繼費馬最後定理之後，另一個數學難題是龐加萊猜想( Poincare conjecture ^[4])， 這個問題由法國數學家 Poincare 在 1904 年提出，百年來無人能解，這個問題甚至被 Clay Mathematics Institute 列為 7 大千禧年問題，每道問題懸賞一百萬美元。 我在 2004 年時就有聽到 Perelman 試圖要證明龐加萊猜想的 消息， 而到 2006 夏天為止， 數學家們還在檢查 Perelman 的證明是否完全正確， 不過經過三年多來數學專家們的嚴密審視，Perelman 的證明還沒有發現漏洞 (資料來自 ICM)。