generating all vertices of a box

續之前產生 排列組合 的問題，無意間又發現了一個新的解法，先回顧問題一下， 如何產生下面的序列？

0000
1000
0100
1100
0010
1010
0110
1110
0001
1001
0101
1101
0011
1011
0111
1111

要解決這個問題，先要了解題目中序列出現的方式，一開始是先有

0
1

之後以第一層來稱呼， 接下來是

00
10
01
11

之後以第二層來稱呼， 再接下來是

000
100
010
110
001
101
011
111

之後以第三層來稱呼。 第四層就是題目要的答案，其實層數還可以一直延續下去。 觀察到規律了嗎？應該非常簡單， 第二層的前二列就是第一層右邊擺上 0; 0 (; 表示斷行)， 至於三四列還是擺第一層，不過右邊擺上 1; 1，這個規律應用到第三層也是對的， 第三層的一到四列是第二層右邊擺上0; 0; 0; 0， 至於五到八列是第二層右邊擺上 1; 1; 1; 1。 這個演算法用 matlab 來寫非常直接：

N = 4;
seq = [0; 1];
for i = 1:N-1
  seq =[seq zeros(size(seq,1),1);
        seq ones(size(seq,1),1)];
end

之前從來沒有想過用這種方法產生序列， 一直到無意間看到別人的程式碼，才驚覺原來還有這麼直觀的方法， 而且只要花幾分鐘就可以懂了。搞不好還有其它方式可以產生我要的序列， 不過我對目前的演算法非常滿意，因為容易了解，而且程式碼很短。

PS. 我的研究常會遇到 (p₁; p₂; ... p_N) 這種向量，而 p_i 的值是不確定的， i 從 1 到 N， 只知道其範圍是落在 [r_i1, r_i2]， 我想要把此向量所在集合的端點列出來， 以 N=3 為例，其端點為

(r11, r21, r31) (r12, r21, r31)
(r11, r22, r31) (r12, r22, r31)
(r11, r21, r32) (r12, r21, r32)
(r11, r22, r32) (r12, r22, r32)

總共有 2^N 個端點，其產生方式其實就是 之前產生序列所使用的演算法。