黎曼猜想 - Riemann Hypothesis

繼 費馬最後定理 ^[1] (Fermat's Last Theorem) 及 龐加萊猜想^[2] (Poincare Conjecture) 相繼被攻克之後， 黎曼猜想 (Riemann Hypothesis) 是一個數學家久攻不下的數學難題，底下簡介此猜想的內容及重要性。 Bernhard Riemann 在 32 歲 (1859 年) 時被柏林科學院 (Berlin Academy) 選為通信院士， 為了回報此一崇高榮譽，於是 Riemann 向柏林科學院提交一篇論文^[3]， 只有 6 頁，題目是「論小於給定數值的質數個數」 (On the number of primes less than a given quantity)

黎曼猜想就是出自這篇論文。 欲了解黎曼猜想首先要認識一個重要的複數函數 ζ(s)，其定義如下

ζ(s) = 1 + 1/2^s + 1/3^s + 1/4^s + ...

定義中有一個無窮級數， 可能發散，如果發散的話 ζ(s) 的定義就有問題。 此無窮級數收斂的條件是 s 的實部要大等於 1， 而黎曼猜想所探討 ζ(s) 之零點可能在收斂範圍之外， 所以要利用 解析拓延 的技巧將 ζ(s) 的定義域擴大。 ζ(s) 還滿足下面等式

ζ(s) = 2Γ(1-s)(2π)^s-1sin(πs/2)ζ(1-s)

由上式可知 s = -2n (n 為正整數) 是 ζ(s) 的零點， 這些零點因為性質簡單所以被稱為平凡零點 (trivial zeros)， 除了平凡零點外，ζ(s) 還有許多其它零點，其性質更為複雜， 而被稱為非平凡零點。黎曼猜想的內容是

ζ(s) 的所有非平凡零點都位於複數平面上 Re(s) = 1/2 的直線上

表面上看來，黎曼猜想似乎是一個複數函數的命題， 但藉由 Euler 乘積公式，可以證明 ζ(s) 的零點分布與質數分布有 密切的關係。 為何黎曼猜想如此重要？ ζ(s) 零點的實部愈接近 1/2 就表示質數分布也愈規則， 如果質數定理 (prime number theorem) 讓我們知道了質數在數線上的平均分布， 那麼黎曼猜想則讓我們知道了平均的徧差是多少。 黎曼猜想是著名的 希爾伯特 23 個問題 (Hilbert's problems) 中的第 8 題，同時也是 千禧年大獎難題 (Millennium Prize Problems) 的其中一題。

前面簡介了黎曼猜想的內容，接下來我想介紹黎曼數學能力之強大。 論文中有三個命題，第一個命題的內容是對複數平面上某一區域內 ζ(s) 零點數目的估計， 可能這個命題的證明對黎曼來說是 trivial 吧，所以他直接寫下了結果，而沒有附證明， 直到 46 年後 (1905 年)，才由 von Mangoldt 提出嚴格的證明。 至於第二個命題是說 ζ(s) 零點 幾乎全位於 Re(s) = 1/2 的直線上， 黎曼在敘述這個命題時，是用完全確定的語氣，似乎表示黎曼認為自己對此已有了證明， 可惜他完全沒有提到證明的細節，不過他曾在一封信件中提及此一命題可以從某一函數的表達式中得到， 可是還沒將之簡化到可以發表的程度，直到目前為止，此命題還未被攻克。 第三個命題自然就是黎曼猜想了，跟前面兩個命題不同， 黎曼在論文中提到第三個命題時是用不確定的語氣，他說 「我們當然希望嚴格證明此一命題，在經過一些快速而徒勞的嘗試後， 我已經暫時停止尋找証明，因為它對於我要研究的下一個目標不是必要的。」。 下面是翻譯原文^[3] 的部分引用

One now finds indeed approximately this number of real roots within these limits, and it is very probable that all roots are real. Certainly one would wish for a stricter poof here; I have meanwhile temporarily put aside the search for this after some fleeting futile attempts, as it appears unnecessary for the next objective of my investigation.

第一句前半段指的就是第二個命題，他用 indeed 表示肯定的語氣， 第一句後半段指的是黎曼猜想，此時他只用 probable 表示不確定。 接來談談黎曼對於 ζ(s) 零點所做的計算， 事實上黎曼在原始論文中並沒有提到如何計算 ζ(s) 零點， 這些零點並不容易計算， 丹麥數學家 Gorgen Gram 在 1903 年用 Euler-Maclaurin 公式完成前 15 個零點的計算， 就算到了 1925 年數學家也才算出前 138 個零點， 然而 Carl Siegel 在研究黎曼手稿時卻赫然發現黎曼計算零點的方法遠勝過當時的任何方法， 那時是 1932 年，距離黎曼猜想提出的時間，已經過了 73 年。 對於黎曼猜想還有興趣的讀者，一定要讀讀 盧昌海 所寫的 黎曼猜想漫談， 這是我見過寫得最好的科普文章，文章非常流暢，內容又有深度，許多數學推導都寫得很詳細， 可能因為盧昌海是物理博士才有這種能力，一般的科普作家大概沒辦法寫出這種程度的文章，除非之前有受過數學訓練。

註：

1. 費馬最後定理始於費馬在 1637 年的猜想， 直到 1995 年才由 Andrew Wiles 所證明，總共經過 358 年才被攻克。
2. 龐加萊猜想始於 1904 年龐加萊的一篇論文， 此猜想的證明架構在 2002 及 2003 年由 Grigori Perelman 提出，經過好幾組數學家團隊的驗證之後，輿論接受 Perelman 的證明是正確的， 總共經過 100 年才被攻克。
3. 網路上可找到黎曼猜想的 原稿，甚至還有翻譯成英文的 pdf 檔 (論文原文是用德文寫的)